¿Qué función crece más rápido, exponencial o factorial?

n! = n * (n-1) * (n-2) * ...

n^n = n * n * n * ...

Cada término después del primero en n^n es más grande, por lo tanto n^n crecerá más rápido.

n^n crece más que n! -- para una excelente explicación, consulta la respuesta de @AlexQueue.

Para los otros casos, sigue leyendo:

Las funciones factorial crecen asintóticamente más que las funciones exponenciales, pero no está claro de inmediato cuándo comienza la diferencia. Por ejemplo, para n=5 y k=10, el factorial 5!=120 sigue siendo menor que 10^5=10000. Para encontrar cuándo comienzan a crecer más las funciones factorial, tenemos que realizar un rápido análisis matemático.

Usamos la fórmula de Stirling y manipulación básica de logaritmos:

log_k(n!) ~ n*log_k(n) - n*log_k(e)

k^n = n!
log_k(k^n) = log_k(n!)
n*log_k(k) = log_k(n!)
n = log_k(n!)

n ~ n*log_k(n) - n*log_k(e)
1 ~ log_k(n) - log_k(e)
log_k(n) - log_k(e) - 1 ~ 0
log_k(n) - log_k(e) - log_k(k) ~ 0
log_k(n/(e*k)) ~ 0

n/(e*k) ~ 1
n ~ e*k

Así, una vez que n alcance casi 3 veces el tamaño de k, las funciones factorial comenzarán a crecer más que las funciones exponenciales. Para la mayoría de los escenarios del mundo real, estaremos utilizando valores grandes de n y valores pequeños de k, por lo que en la práctica, podemos asumir que las funciones factorial son estrictamente mayores que las funciones exponenciales.

Quiero mostrarte un método más gráfico para demostrar esto muy fácilmente. Vamos a usar la división para graficar una función, y nos mostrará esto de manera muy sencilla.

Usaremos una función de división básica y aburrida para explicar una propiedad de la división.

A medida que a aumenta, la evaluación de esa expresión también aumenta. A medida que a disminuye, la evaluación de esa expresión también disminuye.

Usando esta idea, podemos trazar un gráfico basado en lo que esperamos que aumente, y lo que esperamos que disminuya, y hacer una comparación sobre qué aumenta más rápido.

En nuestro caso, queremos saber si las funciones exponenciales crecerán más rápido que los factoriales, o viceversa. Tenemos dos casos, una constante a un exponente variable vs. un factorial variable, y una variable a un exponente variable vs. un factorial variable.

Graficando estas herramientas con Desmos (sin afiliación, es solo una herramienta útil), nos muestra lo siguiente:

Gráfico de una constante a exponente variable, vs factorial variable

Aunque inicialmente parece que la expresión exponencial aumenta más rápido, llega a un punto donde ya no aumenta tan rápido, y en su lugar, la expresión factorial está aumentando más rápido.

Gráfico de una variable a exponente variable, vs factorial variable

Aunque al principio parece ser más lento, comienza a subir rápidamente más allá de ese punto, por lo tanto podemos concluir que la exponencial debe estar aumentando más rápido que el factorial.